Cálculo mental
En este apartado hablaré del cálculo mental y algunos “trucos” para calcular más rápido.
Cada vez parecemos más raros la gente que somos capaces de calcular raíces cuadradas de cabeza o hacer cálculos para los que la mayor parte de gente recurre precipitadamente a la calculadora y tiene una fe ciega en el resultado, incluso aunque éste sea un verdadero disparate.
La calculadora es una muy buena herramienta que muchas veces es necesaria pero eso no debería ser excusa para dejar de ejercitar radicalmente la mente desde que se nos permite su uso en la escuela en edades cada vez más tempranas. Sería como dejar de hacer ejercicio por el hecho de disponer de coche.
Si dejásemos de hacer ejercicio y de caminar por “comodidad” resultaría que el día que quisiéramos echar mano de nuestras piernas éstas no estarían preparadas para soportar nuestro peso. Eso mismo es lo que ocurre si dejamos de usar nuestra mente y nos acomodamos más de la cuenta. Los chavales recurren a la calculadora para realizar una multiplicación simple o para hacer sencillas sumas, si se han equivocado al escribir los cálculos y el resultado es un disparate normalmente les pasa desapercibido.
Conociendo unos sencillos trucos mejorará nuestra actitud frente a muchas operaciones matemáticas, incrementaremos nuestra agilidad mental y como no, sorprenderemos a los que nos rodean.
Empezaremos por esta operación por ser la más sencilla. Para poder llevarla a cabo deberemos conocer perfectamente los cubos de los números del 1 al 9. Esta tabla:
Número |
Cubo |
| 1 |
1 |
| 2 |
8 |
| 3 |
27 |
| 4 |
64 |
| 5 |
125 |
| 6 |
216 |
| 7 |
343 |
| 8 |
512 |
| 9 |
729 |
Primero os daré algunos consejos para memorizar la tabla. He sombreado de amarillo las columnas en las que el número al cubo acaba con el mismo número que el que elevamos. Por ejemplo, 9 al cubo es 729 , 729 termina en 9. Fijaos que cada resultado termina por un número diferente. Si queréis aprender a memorizar números de forma fácil e incluso divertida os recomiendo mi programa "Conversor Numérico".
Los primeros 5 cubos son muy comunes y seguramente ya os sean familiares, el número 8 al cubo es 512, este también es muy común para mis compañeros de gremio, los informáticos. En caso de que estos 6 cubos ya os resulten familiares sólo tendríais que aprender 3 cubos, los del 6, 7 y 9, de estos 3 cubos hay 2 sombreados de amarillo. Bueno, que como veis es muy fácil hacerse con estos 9 cubos y más cuando os diga que esto os permitirá sacar 100 raíces cúbicas exactas.
¡Vamos allá!
Pedimos a alguien que eleve al cubo un número del 1 al 100 y nos diga el resultado, nosotros seremos capaces de desvelar al número que se ha elevado, la raíz cúbica.
Suponemos que se ha elegido el número 54.
543 = 157.464
El resultado lo vamos a partir en 2 números, la parte del número anterior al punto de los miles y la posterior:
Anterior 157 : Como ya conocemos perfectamente la tabla anterior sabemos que 157 está entre 125 y 216, los cubos de 5 y 6, con esto ya sabemos que la decena es 5 .
Posterior 464 : Acaba en 4, igual que 4 al cubo (64 ), así que las unidades son 4.
La raíz cúbica de 157.646 es 54
Algunos ejemplos más para que quede claro del todo:
571.787
Anterior 571 : Entre 512 (83) y 729 (93), decenas 8.
Posterior 787 : 33 termina en 7, unidades 3 .
Resultado: 83
6.859
Anterior 6: entre 1 (13) y 8 (23), decenas 1 .
Posterior 859: termina en 9, igual que 93 , unidades 9 .
Resultado: 19
Esta técnica nos permitirá calcular los cuadrados del número 1 al 100. Este es un excelente ejercicio, hay que hacer unos cuantos pasos mentalmente y os aseguro que sorprende como aumenta la velocidad del cálculo a medida que se practica. Veamos en qué consiste.
Estas cosas se entienden mejor con un buen ejemplo, así que vamos al grano:
Vamos a elevar el número 97 al cuadrado.
Es más sencillo hacer una multiplicación por 100 que por 97, así que vamos a seguir estos pasos:
| Paso |
Operación
|
Explicación |
| 1 |
100 – 97 = 3 |
Calculamos la diferencia entre el número que calculamos y la decena más cercana , 3 |
| 2 |
97 – 3 = 94 |
Nos alejamos 3 unidades de la decena más cercana, restamos el resultado anterior al número que elevamos al cuadrado . |
| 3 |
94 * 100 = 9400 |
El resultado anterior lo multiplicamos por la decena más cercana. |
| 4 |
32 = 9 |
Hacemos el cuadrado del resultado del paso 1. |
| 5 |
9400 + 9 = 9409 |
Sumamos el resultado anterior al del paso 3. |
972 = 9409
Otros ejemplos
De forma un poco más rápida calculamos 222
| 22 – 20 = 2 |
Esta vez hemos puesto en primer lugar el 22 en vez del 20 , no importa, no nos interesa el signo del resultado |
| 22 + 2 = 24 |
Nos alejamos 2 unidades de la decena más cercana, sumamos 2 (antes tuvimos que restar para alejarnos). |
| 24 * 20 = 480 |
Decena más cercana por resultado anterior |
| 480 + 22 = 484 |
Resultado anterior más 22 |
Ahora uno un poco más complicado: 762
| 80 – 76 = 4 |
4 unidades para llegar a la decena más cercana |
| 76 – 4 = 72 |
Nos alejamos 4 unidades. |
| 72 * 80 = 5760 |
Resultado por decena más cercana. |
| 5760 + 42 = 5776 |
Resultado más 42 |
Explicación matemática
Primero desarrollamos un cuadrado normal y corriente con la archiconocida fórmula:
ab = (10 · a) + b
(ab)2 = (10a + b)2 = (10a + b) · (10a + b) = 100a2 +20ab + b2
Hasta aquí estamos todos de acuerdo. Ahora vamos a ver qué pasa si en vez de hacer el cuadrado cojo ese número, le sumo c, le resto c, y multiplico esos 2 resultados. No me miréis así! Es lo que hemos hecho antes: 97 --> (97 + 3) , (97 – 3)
(10a + b + c) * (10a + b – c) = (100a2 + 10ab – 10ac) + (10ab + b2 – bc) + (10ac +bc – c2) = (100a2 + 20ab – b2) – c2
El resultado es el mismo que antes pero restando c2, así que si restamos c2 obtendremos el mismo resultado.
Bueno, esta es la explicación matemática de porqué funciona lo que hemos hecho antes.
Trucos y consejos
A medida que practiquéis os daréis cuenta de algunos “truquillos”. Por ejemplo, las operaciones son más sencillas si nos acercamos a 100 o 50 porque la operación es muy sencilla, de esta forma podríamos aprovechar esto para ir más rápido en el cálculo, por ejemplo si queremos hacer 922 será más fácil si nos acercamos a 100 que a 90, vamos a verlo:
| 100 – 92 = 8 |
8 unidades para llegar a 100 |
| 92 – 8 = 84 |
Nos alejamos 8 unidades. |
| 84 * 100 = 8400 |
Resultado por 100 . |
| 8400 + 82 = 8464 |
Resultado más 82 |
Otro truco que nos permitirá ir más deprisa, es el cuadrado más 1 .
¿Qué pasa si nos piden el cuadrado de 41? Rápidamente podríamos calcular el cuadrado de 40, que es 1600.
412 = (402) + (40*2) + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681
La fórmula conocida por todos es esta:
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
Debo decir que hay calculistas profesionales a los que este método no les resultará cómodo porque les es más fácil hacer la multiplicación directamente de cabeza sin hacer estos pasos intermedios y prefieren utilizar siempre el mismo método y no perder tiempo en buscar estos atajos que van tan bien para la mayoría de mortales.
Vamos a calcular raíces cuadradas para números del 1 al 1000. Para hacer satisfactoriamente esta operación debemos conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31. Voy a apuntarlos.
| 11 |
121 |
21 |
441 |
31 |
961 |
| 12 |
144 |
22 |
484 |
|
|
| 13 |
169 |
23 |
529 |
|
|
| 14 |
196 |
24 |
576 |
|
|
| 15 |
225 |
25 |
625 |
|
|
| 16 |
256 |
26 |
676 |
|
|
| 17 |
289 |
27 |
729 |
|
|
| 18 |
324 |
28 |
784 |
|
|
| 19 |
361 |
29 |
841 |
|
|
Los cuadrados hasta el 16 son muy típicos y es probable que ya los sepáis de memoria, también son muy típicos y fáciles los que acaban en 0 o en 5. Como he dicho anteriormente, un programa que facilitará enormemente esta tarea es el "Conversor Numérico".
Este método nos dará un resultado aproximado, cuando más alto sea el número más cercano será nuestro resultado al real, también dependerá de nuestra agilidad en el cálculo y de nuestra pericia.
Veamos en qué consiste el método:
Vamos con dos ejemplos que así es como se aprende:
Queremos calcular la raíz cuadrada de 110 .
| Paso |
Cálculo |
Explicación |
| 1 |
Raíz entera ( 110 ) = 10 |
Al conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31 no nos costará identificar el entero. |
| 2 |
110 – 102 = 10 |
A 110 le restamos 102 |
| 3 |
( 10 / 10 ) / 2 = 0,5 |
El resultado anterior lo dividimos por el entero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2. |
| 4 |
10 + 0,5 = 10,5 |
El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo. |
El primer ejemplo es fácil de calcular pero tanto 10 puede confundir, vamos con otro y se acabará de entender:
Raíz cuadrada de 430
| Paso |
Cálculo |
Explicación |
| 1 |
Raíz entera ( 430 ) = 20 |
Esta vez el entero es 20 . |
| 2 |
430 – 202 = 430 – 400 = 30 |
A 430 le restamos 202 |
| 3 |
( 30 / 20 ) / 2 = 1,5 / 2 = 0,75 |
El resultado anterior lo dividimos por el entero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2. |
| 4 |
20 + 0,75 = 20,75 |
El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo. |
Este método se tiene mucho que ver con la fórmula que hemos visto antes:
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
La siguiente gráfica nos muestra la diferencia que hay entre los resultados obtenidos y los reales, tal y como he dicho antes, se observa que la diferencia va disminuyendo a medida que los números crecen. 
Al principio la diferencia es brutal, la raíz cuadrada de 2 sale 1,5 y la de 3 no sabríamos muy bien como hacerla. Más adelante explicaré algunos trucos para que el resultado obtenido se aproxime más al real.
De momento vamos a ver otro ejemplo en el que los resultados no son tan favorables y nos invitan a modificar algún paso:
Raíz cuadrada de 319
| Paso |
Cálculo |
Explicación |
| 1 |
Raíz entera ( 319 ) = 17 |
Vemos que 319 es muy cercano a 182 = 324 |
| 2 |
182 – 319 = 324 – 319 = 5 |
Esta vez prefiero acercarme al número ( 319 ) por encima (324). |
| 3 |
( 5 / 18 ) / 2 = 0,27 / 2 = 0,13 |
El resultado anterior lo dividimos por 18, ya que me acerqué esta vez por el cuadrado de 18 y el resultado lo dividimos entre 2. |
| 4 |
18 – 0,13 = 17,87 |
El resultado anterior lo resto de 18 y obtenemos el resultado definitivo. |
Por José María Bea González: www.josemariabea.com
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