Raíces Cuadradas

Vamos a calcular raíces cuadradas para números del 1 al 1000. Para hacer satisfactoriamente esta operación debemos conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31. Voy a apuntarlos.

11 121 21 441 31 961
12 144 22 484    
13 169 23 529    
14 196 24 576    
15 225 25 625    
16 256 26 676    
17 289 27 729    
18 324 28 784    
19 361 29 841    

Los cuadrados hasta el 16 son muy típicos y es probable que ya los sepáis de memoria, también son muy típicos y fáciles los que acaban en 0 o en 5. Como he dicho anteriormente, un programa que facilitará enormemente esta tarea es el "Conversor Numérico".

Este método nos dará un resultado aproximado, cuando más alto sea el número más cercano será nuestro resultado al real, también dependerá de nuestra agilidad en el cálculo y de nuestra pericia.

Veamos en qué consiste el método:

Vamos con dos ejemplos que así es como se aprende:

Queremos calcular la raíz cuadrada de 110 .

Paso Cálculo Explicación
1 Raíz entera ( 110 ) = 10 Al conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31 no nos costará identificar el entero.
2 110 – 102 = 10 110 le restamos 102
3 10 10 ) / 2 = 0,5 El resultado anterior lo dividimos por elentero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2.
4 10 0,5 10,5 El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.

El primer ejemplo es fácil de calcular pero tanto 10 puede confundir, vamos con otro y se acabará de entender:

Raíz cuadrada de 430

Paso Cálculo Explicación
1 Raíz entera ( 430 ) = 20 Esta vez el entero es 20 .
2 430 – 202 = 430 – 400 = 30 430 le restamos 202
3 30 20 ) / 2 = 1,5 / 2 = 0,75 El resultado anterior lo dividimos por elentero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2.
4 20 0,75 20,75 El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.

Este método se tiene mucho que ver con la fórmula que hemos visto antes:

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

La siguiente gráfica nos muestra la diferencia que hay entre los resultados obtenidos y los reales, tal y como he dicho antes, se observa que la diferencia va disminuyendo a medida que los números crecen.

Al principio la diferencia es brutal, la raíz cuadrada de 2 sale 1,5 y la de 3 no sabríamos muy bien como hacerla. Más adelante explicaré algunos trucos para que el resultado obtenido se aproxime más al real.

De momento vamos a ver otro ejemplo en el que los resultados no son tan favorables y nos invitan a modificar algún paso:

Raíz cuadrada de 319

Paso Cálculo Explicación
1 Raíz entera ( 319 ) = 17 Vemos que 319 es muy cercano a 182 = 324
2 182 – 319 = 324 – 319 5 Esta vez prefiero acercarme al número (319 ) por encima (324).
3 18 ) / 2 = 0,27 / 2 = 0,13 El resultado anterior lo dividimos por 18,ya que me acerqué esta vez por el cuadrado de 18 y el resultado lo dividimos entre 2.
4 18 – 0,13 17,87 El resultado anterior lo resto de 18 y obtenemos el resultado definitivo.

 

Cuadrados

Esta técnica nos permitirá calcular los cuadrados del número 1 al 100. Este es un excelente ejercicio, hay que hacer unos cuantos pasos mentalmente y os aseguro que sorprende como aumenta la velocidad del cálculo a medida que se practica. Veamos en qué consiste.

Estas cosas se entienden mejor con un buen ejemplo, así que vamos al grano:

Vamos a elevar el número 97 al cuadrado.

Es más sencillo hacer una multiplicación por 100 que por 97, así que vamos a seguir estos pasos:

Paso
Operación
Explicación
1 100 – 97 3 Calculamos la diferencia entre el número que calculamos y la decena más cercana 3
2 97 – 94 Nos alejamos 3 unidades de la decena más cercana, restamos el resultado anterior alnúmero que elevamos al cuadrado .
3 94 100 9400 El resultado anterior lo multiplicamos por ladecena más cercana.
4 32 = 9 Hacemos el cuadrado del resultado del paso 1.
5 9400 + 9 = 9409 Sumamos el resultado anterior al del paso 3.

972 = 9409

Otros ejemplos

De forma un poco más rápida calculamos 222

22 – 20 2 Esta vez hemos puesto en primer lugar el 22 en vez del 20 , no importa, no nos interesa el signo del resultado
22 24 Nos alejamos unidades de la decena más cercana, sumamos (antes tuvimos que restar para alejarnos).
24 20 480 Decena más cercana por resultado anterior
480 22 = 484 Resultado anterior más 22

Ahora uno un poco más complicado: 762

80 – 76 4 unidades para llegar a la decena más cercana
76 – 72 Nos alejamos unidades.
72 80 5760 Resultado por decena más cercana.
5760 42 = 5776 Resultado más 42

Explicación matemática

Primero desarrollamos un cuadrado normal y corriente con la archiconocida fórmula:

ab = (10 · a) + b

(ab)2 = (10a + b)2 = (10a + b) · (10a + b) = 100a2 +20ab + b2

Hasta aquí estamos todos de acuerdo. Ahora vamos a ver qué pasa si en vez de hacer el cuadrado cojo ese número, le sumo c, le resto c, y multiplico esos 2 resultados. No me miréis así! Es lo que hemos hecho antes: 97 --> (97 + 3) , (97 – 3)

(10a + b + c) * (10a + b – c) = (100a2 + 10ab – 10ac) + (10ab + b2 – bc) + (10ac +bc – c2) = (100a2 + 20ab – b2) – c2

El resultado es el mismo que antes pero restando c2, así que si restamos c2 obtendremos el mismo resultado.

Bueno, esta es la explicación matemática de porqué funciona lo que hemos hecho antes.

Trucos y consejos

A medida que practiquéis os daréis cuenta de algunos “truquillos”. Por ejemplo, las operaciones son más sencillas si nos acercamos a 100 o 50 porque la operación es muy sencilla, de esta forma podríamos aprovechar esto para ir más rápido en el cálculo, por ejemplo si queremos hacer 922 será más fácil si nos acercamos a 100 que a 90, vamos a verlo:

100 – 92 8 unidades para llegar a 100
92 – 84 Nos alejamos unidades.
84 100 8400 Resultado por 100 .
8400 82 = 8464 Resultado más 82

Otro truco que nos permitirá ir más deprisa, es el cuadrado más 1 .

¿Qué pasa si nos piden el cuadrado de 41? Rápidamente podríamos calcular el cuadrado de 40, que es 1600.

412 = (402) + (40*2) + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681

La fórmula conocida por todos es esta:

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

Debo decir que hay calculistas profesionales a los que este método no les resultará cómodo porque les es más fácil hacer la multiplicación directamente de cabeza sin hacer estos pasos intermedios y prefieren utilizar siempre el mismo método y no perder tiempo en buscar estos atajos que van tan bien para la mayoría de mortales

Raíces Cúbicas enteras

Empezaremos por esta operación por ser la más sencilla. Para poder llevarla a cabo deberemos conocer perfectamente los cubos de los números del 1 al 9. Esta tabla:

Número

Cubo

1 1
2 8
3 27
4 64
5 125
6 216
7 343
8 512
9 729

Primero os daré algunos consejos para memorizar la tabla. He sombreado de amarillo las columnas en las que el número al cubo acaba con el mismo número que el que elevamos. Por ejemplo, al cubo es 72, 729 termina en 9. Fijaos que cada resultado termina por un número diferente. Si queréis aprender a memorizar números de forma fácil e incluso divertida os recomiendo mi programa "Conversor Numérico".

Los primeros 5 cubos son muy comunes y seguramente ya os sean familiares, el número 8 al cubo es 512, este también es muy común para mis compañeros de gremio, los informáticos. En caso de que estos 6 cubos ya os resulten familiares sólo tendríais que aprender 3 cubos, los del 6, 7 y 9, de estos 3 cubos hay 2 sombreados de amarillo. Bueno, que como veis es muy fácil hacerse con estos 9 cubos y más cuando os diga que esto os permitirá sacar 100 raíces cúbicas exactas.

¡Vamos allá!

Pedimos a alguien que eleve al cubo un número del 1 al 100 y nos diga el resultado, nosotros seremos capaces de desvelar al número que se ha elevado, la raíz cúbica.

Suponemos que se ha elegido el número 54.

543 = 157.464

El resultado lo vamos a partir en 2 números, la parte del número anterior al punto de los miles y la posterior:

Anterior 157 : Como ya conocemos perfectamente la tabla anterior sabemos que 157 está entre 125 y 216, los cubos de 5 y 6, con esto ya sabemos que la decena es .

Posterior 464 : Acaba en 4, igual que 4 al cubo (6), así que las unidades son 4.

La raíz cúbica de 157.646 es 54

Algunos ejemplos más para que quede claro del todo:

571.787

Anterior 571 : Entre 512 (83) y 729 (93), decenas 8.

Posterior 787 : 33 termina en 7, unidades .

Resultado: 83

6.859

Anterior 6: entre 1 (13) y 8 (23), decenas .

Posterior 859: termina en 9, igual que 93 , unidades .

Resultado: 19

Cálculo Mental

Que gran ayuda la calculadora. Inmediatez y precisión en cualquier lugar.

El problema es cuando nos acomodamos excesivamente y tenemos fe ciega en sus resultados. Esto se agrava si no se sabe utilizar la calculadora, pero bueno eso es otro tema.

Veo en mi labor docente como muchos de mis alumnos recurren a ella cada vez que han de enfrentarse a una simple multiplicación y en caso de error este pasa desapercibido.

Conociendo unos sencillos trucos mejorará nuestra actitud frente a muchas operaciones matemáticas, incrementaremos nuestra agilidad mental y como no, sorprenderemos a los que nos rodean.